The ultimate cube puzzle Русский Deutsch English
Начало Снимки экрана Скачать Математический уголок

Математический уголок

Страничка для любителей математики

Читатель искушённый в математике или интересующийся многогранниками наверное уже догадался о математическом происхождении Crosscube. Если нет, то я открою вам секрет – происхождение Crosscube связано с додекаэдром – правильным двеннадцатигранником. Изучая додекаэдр можно заметить, что он обладает кубической симметрией – в додекаэдр можно вписать подходящего размера куб, так чтобы все его вершины совпали с вершинами додекаэдра. Crosscube и есть такой куб, вписанный в додекаэдр и рассечённый плоскостями проходящими через центр додекаэдра перпендикулярно его осям симметрии 5-го порядка, т. е. параллельно граням додекаэдра.

Вокруг додекаэдра

Изучая додекаэдр, или даже просто образующие его правильные пятиугольники, можно найти и другие интересные математические мозаики. С некоторыми, найденными мною, я и хочу познакомить вас на этой страничке.

1. Cos 36°

Ещё со школы нам знакомы точные значения тригонометрических функций  sin, cos, tg  для некоторых избранных углов.
Я имею ввиду значения в радикалах для углов  01-001.gif (973 Byte):

01-002.gif (1562 Byte)

Используя соотношения, которыми связаны элементы правильного пятиугольника, оказывается возможным найти в радикалах значения тригонометрических функций для недостающего в ряду:  01-001.gif (973 Byte)  угла  01-pi_5.gif (869 Byte).

01-pentagon.gif (6201 Byte)

Итак. Из треугольников ABG и ACF имеем для диагонали пятиугольника b два, существенно разных, выражения:

01-003.gif (1274 Byte)

Приравняв правые части выражений получим следующее равенство:

01-004.gif (1130 Byte)                 (1)

Используя известное выражение для косинуса двойного угла  01-005.gif (994 Byte)  имеем: 01-006.gif (1230 Byte) .

Подставив это значение в уравнение (1) и обозначив  01-007.gif (941 Byte) = x  получим уравнение:

01-008.gif (962 Byte)                                 (2)

Избавившись от знаменателя, получим:

01-009.gif (942 Byte)                           (3)

или, выделив множитель (x + 1):

01-010.gif (1030 Byte)                (4)

Уравнение (4) распадается на два:  x + 1 = 0 и

01-011.gif (931 Byte)                             (5)

Корень первого уравнения, -1, отрицателен и, следовательно, нас не устраивает. Уравнение (5) уже интересней – его положительный корень

01-012.gif (1006 Byte)                               (6)

и есть искомое значение.

Кстати, величина 01-013.gif (951 Byte) хорошо известна в математике – это так называемое "золотое отношение" ("золотая пропорция", "золотое сечение") и обычно она обозначается греческой буквой тау, 01-tau.gif (826 Byte). Величина

01-014.gif (999 Byte)                                                                               (01-tau.gif (826 Byte)1)

обладает многими замечательными свойствами, вытекающими из уравнения (5) и оказывающимися весьма удобными в вычислениях с 01-tau.gif (826 Byte). Вот лишь некоторые из них:

01-015.gif (1209 Byte)                      (01-tau.gif (826 Byte)2)

Итак, решив уравнение (1) имеем:

01-016.gif (1065 Byte)                       (7)

01-017.gif (1064 Byte)                         (8)

Отсюда, используя известные соотношения между тригонометрическими функциями, уже нетрудно получить следующую таблицу значений:

  01-pi_10.gif (891 Byte) = 18° 01-pi_5.gif (869 Byte) = 36° 01-3pi_10.gif (911 Byte) = 54° 01-2pi_5.gif (899 Byte) = 72°
sin 01-018.gif (902 Byte) 01-026.gif (943 Byte) 01-021.gif (953 Byte) 01-030.gif (1025 Byte) 01-022.gif (863 Byte) 01-031.gif (958 Byte) 01-019.gif (956 Byte) 01-027.gif (1017 Byte)
cos 01-019.gif (956 Byte) 01-027.gif (1017 Byte) 01-022-r.gif (949 Byte) 01-031.gif (958 Byte) 01-021.gif (953 Byte) 01-030.gif (1025 Byte) 01-018.gif (902 Byte) 01-026.gif (943 Byte)
tg  01-020.gif (960 Byte) 01-028.gif (1042 Byte) 01-023.gif (951 Byte) 01-032.gif (976 Byte) 01-024.gif (950 Byte) 01-029.gif (1044 Byte) 01-025.gif (928 Byte) 01-033.gif (979 Byte)

Попутно мы получили выражение для диагонали b:

b = a01-tau.gif (826 Byte)                                     (b1)

01-034.gif (919 Byte)                                      (b2)

Заметим также, что диагональ правильного пятиугольника производит "золотое сечение" перпендикулярной к ней высоты:

01-035.gif (1085 Byte)                         (h1)

Действительно:

01-036.gif (1332 Byte)       

Последнее равенство в цепочке неочевидно. Но оно легко доказывется с использованием свойств 01-tau2-b.gif (882 Byte).

2. Построение додекаэдра

Здесь я хочу предложить вам способ точного построения додекаэдра в растровой графике, например в Paint'е. Ясно, что абсолютно точно построить что-либо непрямоугольное на точках возможно лишь в исключительных случаях. Достижимая точность будет зависеть от разрешения растра. Разумеется, именно такая точность и подразумевается здесь. С другой стороны, в построении додекаэдра нет, конечно, ничего особенно сложного, нужно просто знать размеры, углы... Вот тут то и возникает трудность... Я же хочу предложить вам способ, при котором о додекаэдре не нужно знать практически ничего.

Начинается всё с ряда чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ... Если у вас нет этого ряда под рукой, то вы можете просто получить его сами. Первые два члена ряда: 1, 1, а каждый следующий член ряда получается суммированием двух предыдущих: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, и т. д. Как далеко строить ряд? Это зависит от предполагаемого размера додекаэдра.
Итак, имея отрезок ряда чисел Фибоначчи, выбираете три последовательных числа, например: 55, 89, 144, с учётом, что большее из этих чисел является половиной размера будущего додекаэдра – это и есть ответ на вопрос о том, как много чисел ряда надо иметь.
Теперь, проведя линии x = 0, x = 55, x = 89, x = 144, и y = 0, y = 55, y = 89, y = 144, постройте фигуру (1). Затем, путём копирования учетверите этот квадрат, образовав фигуру (2). Осталось только соединить некоторые узлы получившейся решётки, так, как это показано на рисунке (3). И всё. Додекаэдр готов. Причём с наилучшей, для данного размера и даного растра, точностью. Замечу, что точность эта растёт с увеличением размера додекаэдра. Например, для тройки 89, 144, 233 погрешность составляет всего около 0,01 пиксела.

(1) 02-fc-055.gif (1507 Byte)  (2) 02-fn-055.gif (3146 Byte)  (3) 02-d0-055.gif (4144 Byte)

3. Arctg 2

Несколько раз мне встречался в интернете вопрос об угле arctg 2. Либо в виде проблемы: доказать, что острый угол между гранями додекаэдра равен arctg 2, либо в виде вопроса: существует ли короткое построение, ведущее к доказательству этого утверждения. Здесь я хочу продемонстрировать, что удачные чертежи способствуют появлению хороших догадок и идей. В частности, приведенный выше чертёж додекаэдра позволяет получить очень короткое доказательство утверждения об arctg 2.

03-d0-055.gif (4540 Byte)

Легко заметить, что отрезки обозначенные через 03-001.gif (860 Byte) равны – каждый из них равен половине диагонали пятиугольника. Поскольку соотношение (h1) для отрезков высоты будет верно и для проекций этих отрезков, то имеем:

03-002.gif (952 Byte)                                                    (1)

т. е.

03-007.gif (1167 Byte)                    (2)

Используя известную формулу для тангенса двойного угла найдём:

03-009.gif (1302 Byte)        (3)

и, следовательно:

03-alpha.gif (829 Byte) = arctg 2                                               (4)

4. "Золотые" кубы

Глядя на чертёж из предыдущей части возникает догадка, что отрезок 04-001.gif (856 Byte) равен 04-002.gif (869 Byte). Вообще говоря, это так и есть по построению, но это ещё не доказывает, что это так на самом деле. Доказать это однако не трудно:

04-003.gif (1009 Byte)                                              (1)

Или, поскольку  04-004.gif (944 Byte) , то:

04-005.gif (988 Byte)                                                   (2)

04-006.gif (941 Byte)                                                      (3)

Отсюда следует, что размер квадрата, в который вписан чертёж додекаэдра, равен a + b = a + a01-tau.gif (826 Byte) = a(1 + 01-tau.gif (826 Byte)) = a04-007.gif (842 Byte).

Указанный квадрат можно представить и по-другому – как проекцию куба, в который додекаэдр вписан или, если угодно, помещён внутрь, как в коробку. Вспомнив о существовании вписанного куба с размерами b = a01-tau.gif (826 Byte), получаем пару кубов с общим центром, между которыми расположен додекаэдр, отношение размеров которых равно "золотому отношению", 01-tau.gif (826 Byte):

04-2gc-055-2.gif (4611 Byte)

5. Звёздчатые формы додекаэдра

Решётка, построенная на тройке фибоначчиевых чисел, назовём её "фибоначчиева решётка", обладает замечательным свойством – она оказывается пригодной не только для построения додекаэдра, но и для построения всех трёх его звёздчатых форм: малого звёздчатого додекаэдра, большого додекаэдра, и большого звёздчатого додекаэдра.

1. Малый звёздчатый додекаэдр

Итак, вначале всего стоит уже известная нам решётка, например (34, 55, 89). Начинается построение малого звёздчатого додекаэдра со звезды, показанной на рисунке. Затем нужно начертить ещё один экземпляр этой звезды, зеркально симметричный относительно горизонтальной оси решётки. Если присовокупить к этим двум звёздам ещё две вертикальные линии решётки, соединяющие ножки звёзд, то можно считать чертёж готовым. Правда, за всеми этими линиями трудно разглядеть саму звёздчатую форму. Тут должно помочь раскрашивание.

05-d1-034-s1.gif (2746 Byte)  05-d1-034-s2.gif (3320 Byte)  05-d1-034-s4.gif (3903 Byte)  05-d1.jpg (5160 Byte)

2. Большой додекаэдр

Чертёж большого додекаэдра лишь немногим отличается от чертежа малого звёздчатого додекаэдра – добавляются лишь линии, соединяющие вершины лучей. Правильно понять же его опять поможет раскраска.

05-d1-034-s2.gif (3320 Byte)  05-d2-034-s2.gif (3708 Byte)  05-d2-034-s4.gif (4607 Byte)  05-d2.jpg (5080 Byte)

3. Большой звёздчатый додекаэдр

Процедура построения большого звёздчатого додекаэдра очень похожа на таковую для малого звёздчатого додекаэдра – построение начинается со звезды той же самой формы, но располагается она на этот раз в верхней части решётки. Далее, как и прежде, добавляется звезда, зеркально отображённая относительно горизонтальной оси решётки. Всё – чертёж готов. Проблема только в том, чтобы правильно представить себе, что же изображено на этом чертеже. Тут, как и раньше, поможет раскраска.

05-d3-034-s1.gif (2791 Byte)  05-d3-034-s2.gif (3376 Byte)  05-d3-034-s4.gif (4016 Byte)  05-d3.jpg (7722 Byte)

Замечание. В первых двух случаях решётка может быть упрощена – линии, соответствующие среднему числу "фибоначчиевой тройки", т.е. числу 55 в случае (34, 55, 89), для построения не нужны. Однако я оставил их – для общности и для демонстрации, насколько органична решётка для каждой из представленных моделей – пересечения линий чертежа всегда точно совпадют с узлами решётки.

6. Размеры звёздчатых форм

Звёздчатые формы образуются путём продолжения граней додекаэдра и присоединения к нему полученных таким образом отсеков пространства. Не только всех за раз, но и путём присоединения отсеков лишь определённого типа. Таким образом размеры звёздчатых форм зависят от типа присоединённых отсеков и, следовательно, могут различаться, и определённо должны быть больше исходного додекаэдра. Из предыдущих примеров этого не видно – все формы построены на основе одной и той же решётки и имеют в этом смысле одинаковый размер. Это лишь подтверждает, что для построения и додекаэдра и его форм подходят решётки любого размера, но ничего пока не говорит об истинном соотношении размеров звёздчатых форм, между собой и с величиной исходного додекаэдра. Для прояснения вопроса об относительных размерах додекаэдра и его звёздчатых форм произведём построение форм менее формально, т.е. естественным образом – путём продолжения граней додекаэдра.

Возьмём за основу решётку (13, 21, 34) и построим в ней додекаэдр – рисунок (1). Чтобы иметь возможность продолжения граней (на чертеже – это линии пересечения граней, т.е. рёбра додекаэдра), расширим исходную решётку на один шаг ряда Фибоначчи, т.е. возьмём  решётку (21, 34, 55) и поместим исходную решётку с додекаэдром в её центр. Продолжим теперь линии рёбер до пересечения. Таким образом мы присоединеним к каждой грани додекаэдра отсек пространства в виде пирамиды с пятиугольным основанием, равным грани додекаэдра, и получим первую звёздчатую форму додекаэдра – малый звёздчатый додекаэдр – рисунок (2). После окраски продолжения граней цветами, соответствующими окраске исходного додекаэдра,  малый звёздчатый додекаэдр будет выглядеть, как на рисунке (3).

(1) 06-d0-013-col-1.gif (1446 Byte)  (2) 06-d1-021-col-2.gif (2311 Byte)  (3) 06-d1-021-col-3.gif (2250 Byte)  (4) 06-d2-021-col-1.gif (2477 Byte)  (5) 06-d2-021-col-3.gif (2256 Byte)

Вторую звёздчатую форму – большой додекаэдр – можно построить на той же решётке (21, 34, 55) исходя из чертежа предыдущей формы (3). Для присоединения новых отсеков пространства соединим линиями вершины лучей малого звёздчатого додекаэдра. Таким образом мы присоединеним к нему 30 клинообразных отсеков пространства – рисунок (4). После окраски, соответствующей окраске исходного додекаэдра,  большой додекаэдр примет вид, показанный на рисунке (5).

(6) 06-d3-055-col-2.gif (5795 Byte)  (7) 06-d3-055-col-3.gif (5795 Byte)

Для построения третьей звёздчатой формы – большого звёздчатого додекаэдра – требуется новое расширение решётки. На этот раз одного шага расширения оказывается уже недостаточно – требуется два шага, т.е. решётка (55, 89, 144 ). Поместим решётку предыдущей формы (21, 34, 55) вместе с самой формой (5), в центр новой решётки и продолжим рёбра большого додекаэдра до пересечения. Таким образом мы присоединеним к большому додекаэдру 20 отсеков ввиде пятиугольных бипирамид – рисунок (6). После соответствующей окраски, большой звёздчатый додекаэдр предстанет в виде, показанном на рисунке (7).

Сопоставим теперь размеры додекаэдра и его звёздчатых форм. Додекаэдр мы построили на решётке (13, 21, 34), т.е. его размер (ребро "ящика", в который мы его поместили) равен 34 · 2 = 68.  Малый звёздчатый додекаэдр и большой додекаэдр – решётка (21, 34, 55), размер 55 · 2 = 110. Большой звёздчатый додекаэдр – решётка (55, 89, 144 ), размер 144 · 2 = 288.
Таким образом, размеры додекаэдра и его форм относятся как 68 : 110 : 110 : 288 или как 34 : 55 : 55 : 144 или в общем случае как Fn : Fn+1 : Fn+1 : Fn+3, где Fn есть n-ое число Фиббоначчи.

Замечу, что сказанное касается лишь наших "точных" чертежей додекаэдра и его форм. Для истинных геометрических тел это соотношение является лишь приближённым. С другой стороны известно, что отношение соседних чисел Фибоначчи стремится к "золотому отношению", 01-tau.gif (826 Byte), при стремлении n к бесконечности. Это позволяет догадаться, каково будет истинное отношение размеров додекаэдра и его форм: 1 : 01-tau.gif (826 Byte) : 01-tau.gif (826 Byte) : 01-tau.gif (826 Byte)01-tau.gif (826 Byte)01-tau.gif (826 Byte).

 
© 2004 - 2005, Владимир Браун